我想像中的中學數學學習

2017.03.14.

應該很少有中學生喜歡數學，我自己也不例外! 根據報載2015年國際學生能力評量計畫PISA (The Programme for International Student Assessment, PISA)，臺灣學生數學成績佳，但是對於數學卻是興趣缺缺。你是不是也是這樣的人呢? 我小時候可是數學成績不佳，也沒有數學興趣的人。

長久以來，大家都把「算術」與「數學」畫上等號，從國小到國中，我們花費了大把的精神在練習「算術」，唯有穩定的算術技巧才能夠在紙筆測驗中獲取高分，但是獲取高分，在數學這一個科目就是拿手與頂尖嗎? 或許長久以來大家都是這樣認為，但這個現象是對的嗎?事實上，「算術」僅僅是「數學」中的一個環節而已，而且可以被取代性相當高，例如：古時候的算盤就是一例，更遑論現代的計算機了。因此，可以想見，每天練習「算術」可以深化對於數學的認知相當有限，往往一不小心，就全盤皆輸或全題皆毀。但也有學者這麼說：「如果沒有透過算術的實際操作，如何了解數學的要義呢?」吾人不能否定透過紙筆的運算，的確能刺激大腦神經元的連結，進而活化腦細胞，且能夠穩定記憶，並迸發出新的想法，但是，多數人卻陷入泥淖，誤將紙筆算術當作數學的全部了。

我想像中的「數學」學習可以是這樣子的嗎?

德國大數學家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)，他原本是一位律師。沒錯! 他是研究法律的律師，但是他卻和牛頓(Sir Isaac Newton)先後獨立發明了微積分。還記得數學家高斯(Carolus Fridericus Gauss)小時候1加到100的故事嗎? 因為高斯的老師只是直覺的「算術」想法，想要考倒學生，殊不知學生高斯用數學的思考回答老師的問題。

數學欣賞是學習數學的開始。

人類會欣賞美的事物，數學絕對是美學的化身，數學之美在於簡約與複雜對映，在於演繹與歸納結合，在於收斂與發散糾葛，從數論、代數、幾何與統計，提供人類無限的想像與科技的進步。所以，學數學要從欣賞該開始。怎麼開始? 拿起您的數學課本(不是講義)，「觀」、「念」、「想」三步驟，觀賞數學課本內容，念出數學定義，思想為何如此? 拿起筆來，依樣畫葫蘆加深記憶，再次欣賞。

凝想數學是學習數學的重要元素。

數學的精神在於動腦思考與凝想，懶得想! 就無法學好數學，凝想有脈絡，第一是專注，「凝」即是專注與專心，想想看數學定義的條件或元素，想想看式子的形成，想想看有什麼工具可以解決。其二是「思想」，思想是突破假設、上下連結、左右縱橫、前後有序，歸納與聚斂，演繹與推廣。其三是「耐煩」，一步一步的思維，隨時記錄軌跡，看似愚蠢的方法，其後再作化約與精簡，千萬不要想一步登天，但精簡後的式子與方式，則要牢牢凝記在心海裡。

學數學，獨學無友則孤陋寡聞。

數學之大如宇宙浩瀚無垠，朋友之間砥礪切磋才能更上層樓，先想到，不代表能先解決；後想到，不代表落人一步。有討論則試法聚焦，若仍無解，則需外求，人、事、物皆是外求的對象，例如：人即是向人討教或上網求助，事即是透過事物爬梳事理因由，物即是尋找資料遍覽群書或網路。千萬別陷入以管窺天以蠡測海之心態，久而久之越顯自負而無法再向上突破。

學數學，一定要有氧運動。

數學是心智思考的大量運用，大腦思考會非常耗氧，您大概不會想成為一位愛好數學卻體弱多病的人吧! 很多數學家不長壽，但卻活得非常有價值與意義；也有許多數學家很長壽，貢獻更多對人類有意義的數學發想，進而解決科技與生活上的困難，學數學當然要長壽，所以有氧運動很重要。有氧運動可以促進大腦思考更清晰，相信您一定聽過很多人說，當遇著一題數學難題時，放下手邊的紙與筆，到公園逛一圈或者睡一覺之後，回來就想出法子了! 猜猜誰最常發生這種事呢? 就是鼎鼎大名猶太裔的科學家愛因斯坦(Albert Einstein)了。肢體有氧運動，能夠促進新陳代謝，微微發汗或汗水淋漓，都能夠達到功效。

學數學，時間絕對不是問題。

學數學會花時間，請問花時間在運算或者是凝想，哪一個正確呢? 兩者皆要! 空有凝想而無運算則無法整理思路，解題的完整性。光有運算而不凝想，往往一天到頭走冤枉路。中學生時間甚為寶貴，如廁時、洗澡時、候車時等等零碎時間，都是學習數學寶貴的時間。對了！別忘了要適時的發呆一下，行百里路半九十，路長得很，記得打盹發呆一下喔！

記得直角三角形斜邊根號2、根號3、根號4、根號5、根號6…所形成像蝸牛殼螺旋般的圖形嗎? 她叫做西奧多羅斯(Theodorus of Cyrene)車輪，她是一種遞迴的觀念，透過遞迴你會發現單純的形體後來會變成怪獸或美麗的形體，例如：科赫曲線(如上圖)，遞迴也能帶來最佳的解答，端看何時停止的遞迴。我想像中的數學學習永遠是美麗的學習，如果您仍困惑於學習數學、或每天埋首於補習班、參考書中，不斷演練看似數學般的算術，您的身影像似一臺解題的機器人，快快醒過來吧! 因為算術是可以用電腦與計算機取代。如果你因為學校考試的數學成績不佳，千萬別氣餒，因為考試的題目只不過是在考算術，千萬別要因為考不及格而對數學失去興趣與好感。那你將錯過一件世上最美的作品，也是造物主賜給人類心靈最純潔、最美麗的一幅如詩如畫般的風景了。

 

中學生的學習法舉隅

現今課程改革與潮流非常的劇烈與快速，學生必然仰賴學校多元課程的學習，若僅引起學習動機而未能持續維持學習的力道，往往造成淺碟式的學習，因此，深化課程的學習實在是吾人所應當珍視的議題之一。當課程改革已經成為各校作為亮點或特色課程時，更應關注與原本學科之間關聯性的學習，而非僅僅端出了一道道珍饈佳餚，但是學生的吸收卻是僅在舌尖上的美味，未能進入後續的消化器官胃、腸，以達深入肺腑脾胃而收學習之效。因此，倘過分強調透過多元且活化的學習，學生就可深入學習甚或達到增加記憶之效，都是如曇花一現之漂浮之語，尚待時間與歷史考證，此為吾人(師)所應當重視的議題之二。學習，自古以來就是人類文明遞嬗之文化，若學習未能掌握先備經驗、未能深入淺出、未能切中其要、未能有效評量與反饋，則吾人(師)應當以深碗式學習的方式作為課程設計之鑰，如此，學生在變動中的課程改革浪潮中，學生學習才能失之東隅，收之桑榆。以下，以中醫「四診法」（望、聞、問、切）來說明，學生應當掌握的學習法，期待在紛亂(多元)的課程中，給予一盞微弱的燭光，引領迷航的學子們，嘗到學習的成就，並為未來與國際競爭的深厚準備，不負為師之德。

春秋戰國時代的中醫扁鵲，提出了「四診法」（望、聞、問、切）的診病程序與方法，透過望診（看看患者的臉色與身態等）、聞診（聽聽患者最近生活作息與主訴病癥）、問診（問問患者一些身體狀況與飲食習慣）和切診（按按他的脈搏從脈象中了解身體的徵兆）。《素問·脈要精微論》說：「診法何如？……切脈動靜而視精明，察五色，觀五臟有餘不足，六腑強弱，形之盛衰，以此參伍，決死生之分」。若對照學習之理法，亦復如此，每位學生就是個有機體，往往未循其生、心理之循環系統，而揠苗助長、或未能適性發展、或未能個別化教學、或未能補救學習等，往往就會使得學習狀況生病，若病入膏肓則為時晚矣。以下分別說明中醫四診法在學習上的舉隅。

「望!」學習第一要務就是要預習與觀察。學生往往因為怠惰、圖方便等等因素，忽略了預習的步驟。近來有翻轉學習(flipped learning)的風潮蔚為風尚，其實，所強調的就是在學校課堂上課之前，要先做影片的學習，將課程基礎與先備知識預先了解，至於到課堂上時，透過老師的引導加上有效的討論，形塑成心智模式，學生便能夠達到有效的學習。事實上，這是原本學習的必經路徑，只不過翻轉學習強調透過線上影片、非同步式的課程等等，作為預習的工具，因此，與學習的歷程與步驟並無二致。期許學生在學習的路上，一定要做到「望」的步驟。

「聞!」學生進入到課堂時是否已經準備好學習的心態呢? 這是很多老師在班級經營所關注的重點之一，所謂「聞道有先後，術業有專攻。」其中的聞道就是此理，學習一定要專心聽講，認真聽上課老師所闡述的課程內容，或積極參與課堂的研討或討論，部分學生上課專注力不足，往往魂遊象外、或做白日夢、或如孑孓坐不住等等，這也是老師們班級經營的重點之二。學習之鑰要凡事慎於始，在一開始即懂得及時醒悟，將自己的精力專注於課堂之上，千萬不要有放學之後還可以去補習班再聽一次的心理，得過且過，不但耗費大量的時間，也犧牲了自己休憩娛樂的時間，這是非常不值得的事。要如何做到專注呢? 可以從心開始，先說服自己的心；其次，深深呼吸幾次；再者，閉眼調息一番；其後，張眼聳耳，專心致志；若仍無法自己時，則拿出紙筆來，強迫自己逐字摘要上課所聞，久而久之自然習慣聞道，則聞道之法，裨益學習無窮。

「問!」學習之訣無外乎「問」字。從「問」中可得「思」理，若無設問，則無思考之始。學習一定有困難之處、不解之處、畏難之處等等，倘若不能有疑問，就不能深入思考，因此，如何設問自己，建議可以從課本、學習單或考卷開始，從多個面向思考問題，縱使有些無俚頭也要勇於問自己，透過自我價值澄清法，則可以深入思考。其二，要問同儕、要問老師、要問參考資料、要問google等等，都是問的方法，然打破砂鍋問到底也不見得是一件好事，端看問題的大小與所掌握的時間等等，千萬不要顧此失彼，而讓自己鑽牛角尖，陷入泥淖而不自知。每項問題一定要做紙筆紀錄，簡單也好、詳述也罷! 方便對於後來複習時有所依循，可以簡化再次爬梳尋理之途，也可預為後續發問之本。問與思為一體兩面，有問即可思，有思即證問，多問問自己強如問及他人，能問他人可遇不可求，數位時代可以多多透過資料搜尋以解提問，相得益彰。

「切!」學習之道在乎「勤」字。一勤天下無難事!學生學習貴乎在於動手操作，不論是背誦、習字、閱讀、演算、練習、實驗、展演、實習、研究、競賽等等，都是需要實際的操作，因此，學校與課堂授課應當多多提供學生可以操作的機會進而展現操作的成果，學生在學習上應當以操作應證學習所得，以操作應證問題所解，部分學科或者無法完全展現操作性的成果，但仍要讓學生有說話、或表達、或競賽的機會，透過錄影與現代化的直播功能，讓學生能夠透過互相觀摩與觀察，學習彼此之間的優點，反思互動間的缺失。學習在於紙筆測驗或其他評量與競賽上的表現，可掌握心理學家桑代克(Edward Lee Thorndike)的學習三律(Thorndike’s Laws of Learning)。桑代克根據「迷籠中的貓」實驗，提出影響刺激與反應關係建立的法則有三：練習律、準備律和效果律。

練習律是刺激與反應的連結，隨練習的次數而定，因此，學習是需要反覆練習的時間。因此，老師應當提供足夠時間給學生練習與思考，學生也要善用零碎時間背單字、演算數學、體適能等等。

準備律是刺激反應的聯結，隨個體身心準備狀態差異而異，個體在需求狀態下反應時，將因反應而獲得滿足，有過滿足的經驗，其後在相同情況下會出現相同反應。因此，老師應當給予學生期待與讚賞，給予正向的肯定並給予錯誤時的提醒與警戒，學生應當透過學習的成就獲致滿足，是心理的滿足與愉悅。

效果律是刺激反應的聯結，視反應後是否能獲得滿足的效果而定，對預先設定的刺激表現反應，反應後獲得獎賞，則使刺激反應聯結增強。因此，學生對於獲得獎賞是有需求性的，學校對於德、智、體、群、美，表現優異的學生應當給予及時性的獎賞，也可以給予學生有標竿學習的楷模。

學生學習一定要切中其要，千萬不要目標不清楚，有時候多元課程與名稱種類繁多，美其名是多元學習，探索自己生涯需求，但是最終卻是什麼科目或學習都不精，經過的數次的標準評量之後，摧毀了自己的學習的自信心，屆時僅能徒呼負負，望其項背而無法企及了。

同學們! 老師們! 課程的演變與改革，其中心仍要圍繞「學習者完整學習」為中心，課程的完整性與學科的關聯性至為重要，過度的課程討論與尋求共識也會失去個別教育階段與各校自我的特色與現狀，導入企業的管理精神與做法，應辨別企業與教育的哲學基礎之異同，國際上教育競爭非常多元與紛亂，導向福利國家的教學作法也應當省思國內政經、社會與文化情勢。美國行政學者史塔夫賓（D. L. Stufflebeam）提倡CIPP評鑑模式，認為「評鑑的目標在於改善（improve）而不是在證明（prove）。」從評鑑的角度來看中學生的學習是一種後設分析的有效方法，CIPP評鑑模式即是背景評鑑（Context Evaluation）、輸入評鑑（Input Evaluation）、過程評鑑（Process Evaluation）、成果評鑑（Product Evaluation）；引申於中學生的學習就是從預習中完成先備知識的理解，透過中醫的四診法達成學習中的望、聞、問、切，搭配桑代克的學習三律，完成學習的成果展現，回饋至生、心理的學習愉悅與學習成就感，如此不斷的循環，充分達成CIPP的觀點，學生的學習就能有效展現，也能達成教學目標與教育合價值性、合認知性與合志願性的目的了。最後，期盼中學學生都能在這一波課程改革的浪潮中，抓住自己的定位，免得隨波逐流，喪失了人生黃金學習的時間。